Jest absolwentem Akademii Muzycznej im. Karola Szymanowskiego w Katowicach (kierunek jazz i muzyka estradowa), doktorem sztuki muzycznej w dyscyplinie dyrygentura (Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy) oraz absolwentem podyplomowych studiów menedżerskich w Szkole Głównej Handlowej w Warszawie, które ukończył z wyróżnieniem. Połączenie doświadczenia scenicznego z kompetencjami zarządczymi stało się podstawą jego wieloletniej działalności producenckiej i festiwalowej.

Karierę rozpoczął w latach 70., współpracując z czołowymi zespołami jazzowymi oraz z Orkiestrą Polskiego Radia i Telewizji w Poznaniu pod dyrekcją Zbigniewa Górnego. Od początku lat 80. działał jako bandleader i dyrygent orkiestr jazzowych i rozrywkowych, zdobywając także doświadczenie na scenach międzynarodowych.

W 1994 roku założył w Bydgoszczy klub Eljazz, który z czasem przekształcił się w Centrum Artystyczne Eljazz – interdyscyplinarną instytucję kultury łączącą działalność koncertową, edukacyjną, produkcję fonograficzną oraz projekty z zakresu sztuk wizualnych. Miejsce to odegrało ważną rolę w rozwoju środowiska jazzowego w regionie i w Polsce.

W 1999 roku powołał Eljazz Big Band, jedną z najbardziej rozpoznawalnych orkiestr jazzowych w kraju. Zespół koncertował na wielu prestiżowych festiwalach i scenach muzycznych, zdobywając liczne nagrody – w tym Złotą Tarkę na Old Jazz Meeting. Album In the Rhythm of Chopin uzyskał w 2012 roku status Platynowej Płyty w kategorii jazz. Kolejne projekty fonograficzne orkiestry, inspirowane twórczością Fryderyka Chopina, Krzysztofa Komedy, Duke’a Ellingtona czy Johanna Sebastiana Bacha, spotkały się z uznaniem krytyków w Polsce i za granicą, m.in. na łamach brytyjskiego magazynu Jazz Journal.

Józef Eliasz jest również współtwórcą i dyrektorem artystycznym międzynarodowych festiwali jazzowych, w tym Bydgoszcz Jazz Festival (od 2002 roku) oraz Europejskiej Akademii Jazzu (od 2013 roku). Jako pedagog i mentor uczestniczy w licznych programach edukacyjnych, warsztatach i projektach wspierających rozwój młodych muzyków. Jego działalność miała istotny wpływ na ukształtowanie Bydgoszczy jako jednego z ważnych ośrodków jazzu w Polsce.

Laureat wielu nagród i wyróżnień, m.in. Nagrody Marszałka Województwa Kujawsko-Pomorskiego, Nagrody Prezydenta Miasta Bydgoszczy oraz odznaczeń państwowych i resortowych, w tym Medalu „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”. Pozostaje aktywnym artystą i producentem, realizując projekty koncertowe, fonograficzne i audiowizualne w Polsce oraz za granicą, a jako perkusista L.A. Trio wnosi do zespołu doświadczenie, wyczucie swingowego pulsu oraz charakterystyczną elegancję brzmienia.